위상수학은 모양을 다루는 수학이다.
하지만 우리가 흔히 아는 '정확한' 모양과는 거리가 멀다.
모양을 연구하는 수학은 크게 '길이·각도'를 정밀하게 재는 기하학과 '연결성'의 본질적인 구조를 보는 위상수학으로 나뉜다.
기하학이 정확한 길이나 각도, 면적처럼 계산(측량)하는 것이 목적인 학문이라면, 위상수학은 어떤 물체를 연속적으로 변형(늘리거나 줄이거나 비트는 등 찢지 않고)해도 변하지 않는 속성에 관심을 둔다.
예를 들어, 구멍의 개수나 연결되어 있는 방식처럼 공간의 본질적인 구조가 그것이다.
예를 들어 종이컵이 찌그러지거나 늘어나더라도 찢기지만 않으면 여전히 '구멍이 없는' 컵인 것처럼, 위상수학은 모양이 어떻게 연속적으로 변할 수 있는지를 연구한다.
이런 관점에서 보면, 커피잔과 도넛은 언뜻 달라 보이지만 '구멍이 하나'라는 위상적 특성을 공유하기에 위상수학적으로는 같은 대상으로 취급된다.
일상생활 속에서 위상수학적 사고방식이 가장 잘 드러난 예는 바로 '지하철 노선도'다.
최수영 아주대학교 수학과 교수는 "지하철 노선도는 각 역 사이의 실제 거리는 무시하고, 오직 노선 간의 연결 관계와 환승 지점 등 '연결성'만 보여준다.
이런 정보가 바로 위상수학적인 관점"이라면서 "위상수학은 복잡한 시스템에서도 형태 너머의 본질적인 구조를 보려는 학문"이라고 정의했다.
최 교수는 "형태 너머의 구조를 파악하려 하면, 때때로 매우 기대하지 않았던 결과를 유도하게 된다"면서 "어떤 대상의 전체적인 모양을 보았을 때, 어떤 성질이 생기고 그것이 왜 가능한지, 또는 불가능한지를 설명하는 것이 위상수학의 특징"이라고 덧붙였다.
위상수학자들은 골프공을 볼 때, 딤플(dimple)의 육각형 모양만을 보지 않는다.
골프공 표면의 딤플은 모두 육각형으로 이뤄져 있을 것 같지만, 실제로는 오각형의 면이 반드시 12개가 있어야만 완전한 구체를 이룰 수 있다.
이는 둥근 구라는 위상적 형태를 유지하기 위한 필연적인 구조적 제약으로, 위상수학은 이러한 불가피한 특성을 밝혀낸다.
마치 복잡한 도시의 도로망을 설계할 때, 신호등의 적소 설치 등을 통해 부분적인 흐름을 개선하려 노력하지만, 위상수학적 관점으로 전체 도로의 연결 구조를 파악하면, 차량 흐름이 반드시 막히게 되는 '병목 현상' 지점이 어디인지, 그리고 왜 이 지점에서는 아무리 애써도 근본적인 해결이 어려운지를 통찰할 수 있도록 해주는 것이다.
미처 예측할 수 없는 이런 구조적 한계를 위상수학을 통해 꿰뚫어 볼 수 있다.
김종화 기자 justin@asiae.co.kr
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